Question

【題目】已知函數.

（1）求函數在處的切線方程；

（2）若方程在區間上有實根，求的值；

（3）若不等式對任意正實數恒成立，求正整數的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）.

【解析】

（1）由的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；

（2）令，方程有實根等價于有零點，利用導數判斷函數的單調性，然后根據零點存在性定理可判斷在和上分別存在一個零點，從而可得結果；

（3）當時，不等式成立恒成立，當時，不等式化為，可得，當時，不等式可化為，可得，結合（2）結合三種情況，從而可得結果.

（1）

又因為，所以切線方程為

（2）記，方程有實根等價于有零點，

因為，當時，；當時，，

可知為極小值，又因為

所以，在上存在一個零點，此時

又因為，

所以，在上存在一個零點，此時

綜上，或

（3）不等式對任意正實數恒成立，

即，恒成立，

當時，上式顯然成立，此時

當時，上式化為，令，

則，由（2）可知，函數在上單減，且存在一個零點，此時，即，

當時，；時，，

所以有極大值即最大值，于是

當時，不等式化為，同理可得

綜上可知，，又因為，

所以正整數的取值集合為.