Question

【題目】設函數.

（1）求函數的單調區間和極值；

（2）若存在滿足，證明成立.

Answer 1

【答案】（1）當時， 在上單調遞增沒有極值；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，極小值為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對函數進行求導得，分為和兩種情形判別導數與0的關系即可得結果；

（2）先得出，結合（1）知，設，構造函數，通過導數判斷出的單調性，可得出，結合（1）中的單調性即可得出結果.

（1）由得

當時，從而得在上單調遞增沒有極值；

當時，得；

得；得；

在上單調遞增，在上單調遞減，

此時有極小值，無極大值.

（2）由得：，從而得

由(1)知當時，從而得在上單調遞增，所以此時不成立

可知此時，由于的極小值點為，可設

設

，僅當時取得“”

所以在為單調遞增函數且

當，時有，即

又由，所以

又由(1)知在上單調遞減，且，

所以從而得證成立.