Question

【題目】已知橢圓C:（）的離心率為，且橢圓C的中心O關于直線的對稱點落在直線上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設P，M、N是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩點，連接交橢圓C于另一點E，求直線的斜率取值范圍，并證明直線與x軸相交于定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析.

【解析】

（1）設點O關于直線的對稱點為，根據一垂直二平分，解得，再結合離心率為，且橢圓C的中心O關于直線的對稱點落在直線上，由求解.

（2）設直線的方程為，且，，則，與橢圓方程聯立，通過，解得直線的斜率取值范圍；寫出直線的方程為，令，得，然后將韋達定理代入求解.

（1）設點O關于直線的對稱點為，則

，

解得，

依題意，得，

∴，，，

∴橢圓C的方程是；

（2）設直線的方程為，且，，

則，

由，消去y得，

，

解得，且，

∴直線的斜率取值范圍是；

由韋達定理得：，

直線的方程為，

令，解得：

，

，

，

∴直線與x軸交于定點.