Question

若函數f（x）滿足：對于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，則稱函數f（x）為“守法函數”．給出下列四個函數：①y=

x

；②y=log₂（x+1）；③y=2^x-1；④y=cosx；其中“守法函數”的所有函數的序號是

③

．

Answer 1

分析：分別判斷四個函數是否滿足兩個條件f（x₁）＞0，f（x₂）＞0和f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，然后確定“守法函數的序號”．

解答：解：①若f（x）=

x

，則對于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁）+f（x₂）=

x1

+

x2

，f（x₁+x₂）=

x1+x2

，(

x1

+

x2

)2=x1+x2+2

x1x2

＞x1+x2，所以f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂），所以①不是“守法函數”．
②若f（x）=log₂（x+1），對于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，設x₁=x₂=1，則f（x₁）+f（x₂）=1+1=2，而f（x₁+x₂）=log₂3＜2，所以f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）不成立，所以②不是“守法函數”．
③若f（x）=2^x-1，對于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=2^x₁-1+2^x₂-1-2^x₁+x₂₊1＜0，則③是“守法函數”．④若f（x）=cosx，因為f（x）=cosx∈[-1，1]，所以任意x₁＞0，x₂＞0，f（x₁）＞0，f（x₂）＞0不一定成立，所以④不是“守法函數”．
故答案為：③．

點評：本題考查了對數函數、三角函數、指數函數的單調性以及值域，運算量較大，綜合性較強．