Question

【題目】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱20件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶時(shí)，用戶要對(duì)該箱中部分產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立.

（1）記某一箱20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品為不合格品概率為，求；

（2）現(xiàn)從某一箱產(chǎn)品中抽取3件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，以（1）中確定的作為p的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為10元，若檢驗(yàn)出不合格品，則工廠要對(duì)每件不合格品支付30元的賠償費(fèi)用，檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析；.

【解析】

（1）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式可得，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，從而得到最大值點(diǎn)；

（2）首先確定所有可能的取值和對(duì)應(yīng)的概率，由此得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算可得期望.

（1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率，

，

令，又，解得：，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.

（2）由題意得：所有可能的取值為：，，，，

；；

；；

的分布列為：

數(shù)學(xué)期望.