Question

【題目】已知直三棱柱，，，，分別為，，的中點，且．

（1）求證：平面；

（2）求；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）取的中點，連接，，，先證明，，從而可得為平行四邊形，進而可得，再結合線面平行的判定定理可證明平面；

（2）設，，，，易知，且，進而用表示出，，并結合，可求出及；

（3）在平面內過點做射線垂直于，易知，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，進而分別求得平面及平面的法向量，，再由，可求出二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點，連接，，，

則有，且，，且，

又，，所以，且，

所以為平行四邊形，所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）設，，，，

由已知可得，，且，

則，，

因為，所以，

所以，即．

（3）在平面內過點做射線垂直于，易知，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，

為平面的一個法向量，

，．

設為平面的一個法向量，

則，令，則，

則，

所以二面角的余弦值為．