Question

已知函數(shù)　（為實常數(shù)）。
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上無極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）已知且，求證: .

Answer 1

（Ⅰ）在時遞增；在時遞減。
（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值和單調(diào)性方面的運用以及利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式的綜合問題。
（1）因為函數(shù)　（為實常數(shù)）。當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求解導(dǎo)數(shù)，然后解不等式得到結(jié)論。
（2）因為，然后對于參數(shù)a進行分類討論得到單調(diào)性和極值問題的判定。
（3）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，在處取得最大值.
即.
利用放縮法得打結(jié)論。
解：(I)當(dāng)時，，其定義域為；
，
令，并結(jié)合定義域知； 令，并結(jié)合定義域知；
故在時遞增；在時遞減。
（II）,
①當(dāng)時，，在上遞減，無極值；
②當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，故在處取得極大值.要使在區(qū)間上無極值，則.
綜上所述，的取值范圍是.  
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，在處取得最大值.
即.
令，則，即　，