Question

【題目】已知函數，．

求在上的最小值；

若m為整數，當時，恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

求出函數的導函數，討論m的取值，研究函數在上的單調性進行求解即可得到結論．
把當時恒成立，轉化為，構造函數，利用導數求得函數的最小值的范圍得答案．

函數的導數，

由得，

由得，此時函數為增函數，

由得，此時函數為減函數，

即當時，函數取得極小值，，．

若即時，函數在上是增函數，此時函數的最小值為，

若即時，函數在上是減函數，此時函數的最小值為，

若，即時，函數的最小值為；

當時，，

不等式，等價為，即

令，則，

函數在上單調遞增，而，，

在上存在唯一的零點，

故在上存在唯一的零點．

設此零點為a，則．

當時，；當時，；

在上的最小值為由，可得，

，

由于式等價于，

故整數m的最大值為2．