【題目】如圖， 在四棱錐
中， 
底面
， 
，
， 
，
，點
為棱
的中點.
（1）證明：
：
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（3）若
為棱上一點， 滿足
， 求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析 （2）
（3）
【解析】
（1）根據題意以
為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并表示出
，由空間向量數量積運算即可證明
.
（2）先求得平面
的法向量，即可求得直線
與平面法向量夾角的余弦值，即為直線與平面所成角的正弦值；
（3）由
點在棱
上，設
，再由
，結合
，由空間向量垂直的坐標關系求得
的值.即可表示出
.求得平面
和平面
的法向量，由空間向量數量積的運算求得兩個平面夾角的余弦值，再根據二面角的平面角為銳角即可確定二面角
的余弦值.
（1）證明：∵
底面
，
，
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵
，
，點
為棱 的中點．
∴
，
，
，
，
，
，
.
（2）
,
設平面的法向量為
.
則
，代入可得
，
令
解得
，即
，
設直線與平面所成角為
，由直線與平面夾角可知
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）
，
由點在棱上，設
，
故
，
由，得
，
解得
，
即
，
設平面的法向量為
，
由
，得
，
令
，則
取平面的法向量
，
則二面角的平面角滿足
，
由圖可知，二面角為銳二面角，
故二面角的余弦值為.
寒假學與練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某度假酒店為了解會員對酒店的滿意度，從中抽取50名會員進行調查，把會員對酒店的“住宿滿意度”與“餐飲滿意度”都分別五個評分標準：1分(很不滿意)；2分(不滿意)；3分(一般)；4分(滿意)；5分(很滿意)，其統計結果如下表(住宿滿意度為x，餐飲滿意度為y)．
餐飲滿意度y 人數 住宿滿意度x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 0 |
2 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
3 | 1 | 2 | 5 | 3 | 4 |
4 | 0 | 3 | 5 | 4 | 3 |
5 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
（1）求“住宿滿意度”分數的平均數；
（2）求“住宿滿意度”為3分時的5個“餐飲滿意度”人數的方差；
（3）為提高對酒店的滿意度，現從
且
的會員中隨機抽取2人征求意見，求至少有1人的“住宿滿意度”為2的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面
為梯形， 
底面
， 
， 
， 
， 
．
（1）求證：平面
平面
；
（2）設
為
上的一點，滿足
，若直線
與平面
所成角的正切值為
，求二面角
的余弦值．
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