Question

過(guò)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)P作與實(shí)軸平行的直線，交兩漸近線于M，N兩點(diǎn)，若

PM

•

PN

=3b²，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A、3
• B、

  3

• C、

  2 3

  3

• D、

  10

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線上的P（x₀，y₀），可得x₀²=a2+

a2

b2

y02．再利用數(shù)量積運(yùn)算和離心率計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：設(shè)雙曲線上的P（x₀，y₀），則x₀=a2+

a2

b2

y02．
聯(lián)立

y=y0 y= b a x

，解得x=

ay0

b

，取M（

ay0

b

，y₀）．
同理可得N（-

ay0

b

，y₀）．
∴

PM

•

PN

=a²．
∴a²=3b²．
∴e=

c

a

=

1+ b2 a2

=

2 3

3

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、數(shù)量積運(yùn)算和離心率計(jì)算公式，屬于中檔題．