Question

（本小題滿分12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和
圓C：(x－3)²＋(y＋6)²＝25.
(1)證明：不論m取什么實數，直線l與圓C總相交；
(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時直線l的方程．

Answer 1

(1)證明：設圓心C到直線l的距離為d，則有
d＝
整理可得4(d²－1)m²＋12m＋d²－9＝0①
為使上面關于m的方程有實數解，
∴Δ＝12²－16(d²－1)(d²－9)≥0，解得0≤d≤.
可得d<5，故不論m為何實數值，直線l與圓C總相交．    6分
(2)解：由(1)可知0≤d≤，即d的最大值為.
根據平面幾何知識可知：當圓心到直線l的距離最大時，直線l被圓C截得的線段長度最短．
∴當d＝時，
線段(即弦長)的最短長度為
2＝2.         9分
將d＝代入①可得m＝－，代入直線l的方程得直線被圓C截得最短線段時l的方程為x＋3y＋5＝0.      12分

解析