Question

已知以原點(diǎn)O為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率．
（Ⅰ）求該雙曲線的方程；
（Ⅱ）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，B是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線的方程，根據(jù)準(zhǔn)線方程和離心率求得a和c，進(jìn)而求得b．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得，|MA|-|MD|=2a，進(jìn)而可|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，又由B是圓上的點(diǎn)，推斷出，進(jìn)而通過(guò)直線方程與雙曲線方程聯(lián)立求得M的坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，
故可設(shè)雙曲線的方程為，
設(shè)，
由準(zhǔn)線方程為得，由
得解得
從而b=2，∴該雙曲線的方程為；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn)，|MA|-|MD|=2a=2
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
∵B是圓上的點(diǎn)，
其圓心為，半徑為1，
故
從而
當(dāng)M，B在線段CD上時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)|MA|+|MB|的最小值為
∵直線CD的方程為，
因點(diǎn)M在雙曲線右支上，故x＞0
由方程組
解得
所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線與直線的關(guān)系．圓錐曲線問(wèn)題是高考中必考的知識(shí)點(diǎn)，故應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．