【題目】已知函數
．
（1）當
時，討論
的單調性；
（2）設函數
，若存在不相等的實數
，
，使得
，證明：
．
【答案】（1）見解析；（2）詳見解析.
【解析】
（1）對函數進行求導得
，再對
分三種情況進行討論；
（2）先求出
，再對
進行求導研究函數的圖象特征，當
時，圖象在
上是增函數，不符合題；當
時，再將問題轉化為構造函數
進行求解證明.
（1）函數
的定義域為
.
，
因為
，所以
，
①當
，即
時，
由
得
或
，由
得
，
所以在
，
上是增函數， 在
上是減函數；
②當
，即
時
，所以在上是增函數；
③當
，即
時，由得
或
，由得
，所以在
，
.上是增函數，在
.上是減函
綜上可知：
當時在，上是單調遞增，在上是單調遞減；
當時，在.上是單調遞增；
當時在，上是單調遞增，在上是單調遞減.
（2），
，
當時，
，所以
在上是增函數，故不存在不相等的實數
，
，使得
，所以.
由得
，即
，
不妨設
，則
，
要證
，只需證
，即證
，
只需證
，令
，只需證
，即證
，
令，則
，
所以
在
上是增函數，所以
，
從而，故
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義域為
的函數
滿足：（1）對任意
，恒有
成立；（2）當
時，
.給出如下結論：
①對任意
，有
；
②函數的值域為
③存在
，使得
；
④“函數在區間
上單調遞減”的充要條件是“存在
，使得
”.
上述結論正確有（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝|2x﹣1|﹣a．
（1）當a＝1時，解不等式f（x）＞x+1；
（2）若存在實數x，使得f（x）
f（x+1），求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱．為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000t生活垃圾．經分揀以后數據統計如下表（單位：
）：根據樣本估計本市生活垃圾投放情況，下列說法錯誤的是（ ）
廚余垃圾”箱 | 可回收物”箱 | 其他垃圾”箱 | |
廚余垃圾 | 400 | 100 | 100 |
可回收物 | 30 | 240 | 30 |
其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
A.廚余垃圾投放正確的概率為
B.居民生活垃圾投放錯誤的概率為
C.該市三類垃圾箱中投放正確的概率最高的是“可回收物”箱
D.廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差為20000
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.
(1)求證：AD⊥平面BFED；
(2)點P在線段EF上運動，設平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，面ADP⊥面ABCD，點F為棱PD的中點．
（1）在棱AB上是否存在一點E，使得AF∥面PCE，并說明理由；
（2）當二面角D﹣FC﹣B的余弦值為
時，求直線PB與平面ABCD所成的角．
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