Question

【題目】已知，，其中.

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上單調遞減，在上單調遞增；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求函數導數,利用導數可研究函數的單調性;

（Ⅱ）由條件可得 在上恒成立, 求導得,分別討論,和三種情況,研究的最小值的取值情況,從而即可得解.

（Ⅰ）時，，定義域是全體實數，求導得，

令，所以在上單調遞減，在上單調遞增

（Ⅱ）令 在上恒成立，則 在上恒成立

求導得.

若，顯然可以任意小，不符合題意.

若，則最大也只能取0.

當時，令 ，

于是在上單調遞減，在單調遞增，在取唯一的極小值也是最小值

，

令，則，

令.

所以在上單調遞增，在單調遞減，

在取唯一極大值也是最大值，此時，，所以的最大值等于.

備注一：結合圖象，指數函數在直線的上方，斜率顯然，再討論的情況.

備注二：考慮到 在上恒成立，令即得.取，

證明在上恒成立也給滿分.