Question

【題目】已知，其中是實常數.

（1）若，求的取值范圍；

（2）若，求證：函數的零點有且僅有一個；

（3）若，設函數的反函數為，若是公差的等差數列且均在函數的值域中，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）證明見解析；

【解析】

（1）直接解不等式即可；

（2）說明函數是增函數，然后由，可得結論；

（3）首先不等式變形：，即

，而，問題轉化為證明是關于的減函數，即設，證明，利用反函數定義，設，由單調遞增可得之間的大小關系，得.

作兩個差，，并相減得，若，此式中分析左右兩邊出現矛盾，從而只能有，證得結論．

（1），所以，，易知，所以，所以.

（2）函數為增函數，且，由于.故在上必存在，使.又為增函數，所以函數的零點有且僅有一個.

（3）即證：.

，而，所以只需證是關于的減函數.

設，即證※大于0

設，由單調遞增可得.

.

而，

兩式相減得，

①

同理②，

①-②得：

.

若，則上式左側，右側矛盾，故※.證畢.