Question

已知f（x）=x³+ax²-x+2，g（x）=xlnx．
（1）如果函數f（x）的單調遞減區間為(-

1

3

，1)，求函數f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數y=f（x）的圖象過點P（1，1）的切線方程；
（3）對一切的x∈（0，+∞），f'（x）+2≥2g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數的單調區間可知-

1

3

，1是導函數所對應方程的兩個根，從而可求出a的值；
（2）設切點坐標是M（x₀，y₀）（x₀≠1），然后根據在該點處的導數等于兩點的斜率建立等式關系，從而求出x₀的值，即可求出切線方程；
（3）3x²+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立將a分離可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，設h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，利用導數研究h（x）的最大值，可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax-1
由題意3x²+2ax-1＞0的解集是(-

1

3

，1)即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-

1

3

，1
將x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+2
（2）設切點坐標是M（x₀，y₀）（x₀≠1）．有

y0-1

x0-1

=3x₀²-2x₀-1
將y₀=x₀³-x₀²-x₀+2代入上式整理得2x03-4x02+2x0=0，即2x0(x0-1)2=0
得x₀=1或x₀=0．
函數f（x）=x³-x²-x+2的圖象過點P（1，1）的切線方程為x+y-2=0或y=1．
（3）由題意：3x²+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立
即3x²+2ax+1≥2xlnx可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

設h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，則h′（x）=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，．
∴a≥-2，即a的取值范圍是[-2，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性以及利用導數研究函數在某點切線方程，同時考查了轉化的思想和計算能力，屬于難題．