Question

已知f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在x=-1處的切線與直線2x-y-1=0平行，求a的值；
（2）當a=-2時，求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先求導數，由條件知f'（-1）=2，然后求解．
（2）求函數的導數，利用導數不等式求函數的單調區間．

解答：解：（1）由題意得f'（x）=3x²+2ax-（2a+3），因為y=f（x）在x=-1處的切線與直線2x-y-1=0平行，
∴f'（-1）=2
∴f'（-1）=3-2a-（2a+3）=2，∴a=-

1

2

．
（2）∵a=-2，∴f（x）=x³-2x²+x+4
∴f'（x）=3x²-4x+1，令f'（x）＞0，得x＞1 或 x＜

1

3

．
令f'（x）＜0，得

1

3

＜x＜1．
∴f（x）單調遞增區間為(-∞，

1

3

)，（1，+∞），f（x）單調遞減區間為(

1

3

，  1)．

點評：本題的考點是導數的幾何意義以及利用導數求函數的單調區間．