Question

已知f（x）=x³+mx²-x+2（m∈R）．
（1）如果函數f（x）的單調遞減區間為（

1

3

，1），求函數f（x）的解析式；
（2）若f（x）的導函數為f′（x），對任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令f′（x）＜0已知函數f（x）的單調遞減區間為（

1

3

，1），所以

1

3

和1為3x²+2mx-1=0的解，代入即可求出m得到解析式；（2）對任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立就是要求f′（x）的最小值都大于等于2xlnx-1即可，所以求出f′（x）的最小值即可得到m的范圍．

解答：解：令f′（x）＜0得3x²+2mx-1＜0，函數f（x）的單調遞減區間為（

1

3

，1），
所以

1

3

和1為3x²+2mx-1=0的解，代入求得m=-1，
則函數f（x）的解析式為f（x）=x³-x²-x+2；
（2）對任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立就是要求f′（x）的最小值都大于等于2xlnx-1
因為f′（x）=3x²+2mx-1，為開口向上的拋物線，有最小值，當x=-

m

3

時，f′（x）的最小值為-

m2

3

-1
所以-

m2

3

-1≥-

2m

3

ln(-

m

3

)-1，解得m≥ln

2

3

-1．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及不等式恒成立時條件的理解能力．