Question

【題目】如圖，已知拋物線，過拋物線上點(diǎn)B作切線交y軸于點(diǎn)

（Ⅰ）求拋物線方程和切點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）過點(diǎn)作拋物線的割線，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)記為，，設(shè)為y軸上一點(diǎn)，滿足，為中點(diǎn)，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線方程為，切點(diǎn)（Ⅱ）

【解析】

(I)由直線與拋物線相切，則聯(lián)立直線與拋物線方程，令即可求解；(II)聯(lián)立直線與拋物線方程，因?yàn)閮蓚�(gè)交點(diǎn)，所以，即可得出的取值范圍，利用弦長(zhǎng)公式可得,由題意可知垂直平分，即可表示出，根據(jù)單調(diào)性即可求解范圍.

（Ⅰ）聯(lián)立拋物線與直線的方程，

得消去得，

由，得，所以拋物線方程為，切點(diǎn).

（Ⅱ）設(shè)，，由題知，

設(shè)，與拋物線聯(lián)立，得，

則，由及的條件可知，

所以.

易得，所以，

所以.

又因?yàn)?/span>，

顯然當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以.