Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}的首項a₁為a（a∈R）設數列的前n項和為S_n，且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式及S_n；
（Ⅱ）記A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，B_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n-1

，當n≥2時，試比較A_n與B_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出等差數列的公差，利用等比中項的性質，建立等式求得d，則數列的通項公式和前n項的和可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的a_n和S_n，代入不等式，利用裂項法和等比數列的求和公式整理A_n與B_n，最后對a＞0和a＜0兩種情況分情況進行比較．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，由（

1

a2

）²=

1

a1

•

1

a4

，
得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），因為d≠0，所以d=a₁=a
所以a_n=na，S_n=

(n+1)na

2

（Ⅱ）解：∵

1

Sn

=

2

a

（

1

n

-

1

n+1

）
∴A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

2

a

（1-

1

n+1

）
∵a2n-1=2^n-1a，所以

1

a2n-1

=

1

a •2n-1

=

1

a

•(

1

2

)n-1為等比數列，公比為

1

2

，
B_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n-1

=

1

a

•

1-( 1 2 )  n

1- 1 2

=

2

a

•（1-

1

2n

）
當n≥2時，2ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ＞n+1，即1-

1

n+1

＜1-

1

2n

所以，當a＞0時，A_n＜B_n；當a＜0時，A_n＞B_n．

點評：本題主要考查了等差數列的性質．涉及了等差數列的通項公式，求和公式以及數列的求和的方法，綜合考查了基礎知識的運用．