Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）=（﹣x2+ax）ex（x∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=（﹣x2+2x）ex，f′（x）=﹣（x2﹣2）ex

令f′（x）＞0，得x2﹣2＜0，∴﹣ ＜x＜

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣ ， ）；

（2）解：f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex，若f（x）在（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，即當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）≥0，

即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0對(duì)x∈（﹣1，1）恒成立，

即a≥ 對(duì)x∈（﹣1，1）恒成立，

令y= ，則y′=

∴y= 在（﹣1，1）上單調(diào)遞增，∴y＜1+1﹣ =

∴

當(dāng)a= 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0

∴a的取值范圍是[ ，+∞）．

【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex ， 若f（x）在（﹣1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，即當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）≥0，即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0對(duì)x∈（﹣1，1）恒成立，分離參數(shù)求最值，即可求a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．