Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為 ，若圓x2+y2=a2被直線x﹣y﹣=0截得的弦長為2

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）已知點A、B為動直線y=k（x﹣1），k≠0與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點M，使得 為定值？若存在，試求出點M的坐標和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：

(1)由題意求得a,b的值可得橢圓方程為；

(2)聯立直線與橢圓的方程，結合題意可得，存在點 滿足 為定值 .

試題解析：

解：（I）圓x2+y2=a2的圓心（0，0）到直線x﹣y﹣=0的距離d==1，

∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，

聯立解得：a2=2，c=1=b．

∴橢圓C的標準方程為： +y2=1．

（II）假設在x軸上存在定點M（m，0），使得為定值．

設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立，化為：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

則x1+x2=，x1x2=．

=（x1﹣m，y1）（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k2）x1x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2

=（1+k2）﹣（m+k2）+m2+k2

=，

令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=．

因此在x軸上存在定點M（，0），使得為定值．