Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，，為棱上的動點.

（1）若為的中點，求證：平面；

（2）若平面平面ABC，且是否存在點，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連交與，連，為中點，結合已知可得，即可證明結論；

（2）根據已知可得平面，以為坐標原點建立空間直角坐標系，由已知確定坐標，假設滿足條件的點存在，設，求出平面的法向量坐標，取平面一個法向量為，按照空間向量的面面角公式，建立的方程，求解即可得出結論.

（1）連交與，連，

四邊形為平行四邊形，為中點，

又為的中點，平面，

平面，平面；

（2）平行四邊形為菱形，，

又平面平面ABC，平面平面，

平面，

過點作的平行線，即兩兩互相垂直，

以為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，

，

故

，

假設存在點，使二面角的平面角的余弦值為，

設，

，

平面一個法向量為，

設平面的法向量為，

，即，

令，則，

由，

整理得或，

解得舍去）或，

，

滿足條件的點存在，且.