Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， ， ， 為中點， 與交于點．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）求證： 平面．

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得？請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）當為中點時， ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）證明：連結OD，可證OD為△A1BC的中位線，可得OD∥A1C，即可判定A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，可證AC⊥平面AA1B1B，從而可得AC⊥A1B，又A1B⊥AB1，AC∩AB1=A，即可證明A1B⊥平面AB1C．（Ⅲ）取B1C中點E，連結DE，AE，可證DE⊥BC，AD⊥BC，從而證明BC⊥平面ADE，進而可證BC⊥AE，即可得解．

試題解析：

（Ⅰ）連接，∴，∴四邊形為正方形．∴為中點，又為中點，∴為的中位線，∴．∵平面， 面，

∴面．

（Ⅱ）由題知， ，又，∴ 面，

∴．在正方形中， ， ，∴面．

（Ⅲ）存在，取中點，連接， ．∴ ，∴ ．

∵， 為中點，∴．∵ ，∴ 面，

∴，∴當為中點時， ．