Question

如圖，四棱錐S-ABCD的高為2，底面ABCD是邊長為2

2

的正方形，頂點S在底面上的射影是正方形ABCD的中心O．K是棱SC的中點．試求直線AK與平面SBC所成角的正弦值．（用空間向量解題）

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：計算題,空間角

分析：AC∩BD=O，以O為坐標原點，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸建立空間坐標系．求出平面SBC的一個法向量，

AK

=(-3，0，1)，利用向量的夾角公式，可求直線AK與平面SBC所成角的大小．

解答： 解：AC∩BD=O，以O為坐標原點，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸建立空間坐標系．則A（2，0，0），B（0，2，0）C（-2，0，0），S（0，0，2）
所以

SB

=(0，2，-2)，

SC

=(-2，0，-2)，K(-1，0.1)
設

m

是平面SBC的一個法向量，易求得

m

=(-1，1，1)
設θ為AK與平面SBC所成的角，因為

AK

=(-3，0，1)
所以：sinθ=|cos＜

m

，

AK

＞|=|

m • AK

| m |•| AK |

|=

2 30

15

．

點評：本題考查直線與平面所成的角，考查向量方法的運用，確定向量的坐標是關鍵．