Question

在直角坐標系中，曲線C的參數方程為

x= 5 cosφ y= 15 sinφ

（φ為參數）．以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點P(

3

，

π

2

)，直線l的極坐標方程為ρ=

3

2cos(θ- π 6 )

．
（1）判斷點P與直線l的位置關系，說明理由；
（2）設直線l與曲線C的兩個交點為A、B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）把直線直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，再根據點P的直角坐標滿足直線的方程，可得點P(0，

3

)在直線l上．
（2）把直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程，可得 t²+2t-8=0，則由韋達定理可得 t₁•t₂=-8，從而求得|PA|•|PB|=|t₁•t₂|的值．

解答： 解：（1）直線直線l的極坐標方程為ρ=

3

2cos(θ- π 6 )

即

3

ρcosθ+ρsinθ=

3

，
故直線l的直角坐標方程為

3

x+y=

3

，再根據點P的直角坐標為（0，

3

 ），滿足直線的方程，
故點P(0，

3

)在直線l上．
（2）直線l的參數方程為

x=- 1 2 t y= 3 + 3 2 t

（t為參數），曲線C的直角坐標方程為

x2

5

+

y2

15

=1，
將直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程，可得 t²+2t-8=0，
設兩根為t₁、t₂，則由韋達定理可得 t₁•t₂=-8，∴|PA|•|PB|=|t₁•t₂|=8．

點評：本題主要考查把極坐標方程、參數方程化為直角坐標方程的方法，參數的幾何意義，韋達定理的應用，屬于基礎題．