Question

在等差數列{a_n}中，a₄S₄=-14，S₅-a₅=-14，其中S_n是數列{a_n}的前n項之和，曲線C_n的方程是

x2

|an|

+

y2

4

=1，直線l的方程是y=x+3．
（1）求數列{a_n}的通項公式；   
（2）判斷C_n與l的位置關系；
（3）當直線l與曲線C_n相交于不同的兩點A_n，B_n時，令M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，求M_n的最小值．
（4）對于直線l和直線外的一點P，用“l上的點與點P距離的最小值”定義點P到直線l的距離與原有的點到直線距離的概念是等價的．若曲線C_n與直線l不相交，試以類似的方式給出一條曲線C_n與直線l間“距離”的定義，并依照給出的定義，在C_n中自行選定一個橢圓，求出該橢圓與直線l的“距離”．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列{a_n}中，a₄S₄=-14，S₅-a₅=-14，可求首項與公差，從而可求求數列{a_n}的通項公式；
（2）將曲線C_n與l的方程聯立，利用判別式可求解；
（3）利用（2）的結論，表達出M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，再求M_n的最小值；
（4）根據條件可類比得：若曲線C_n與直線l不相交，曲線C_n與直線l間“距離”是：曲線C_n上的點到直線l距離的最小值．
由（2）知n=5時，曲線C₅為圓，n=3，4時，曲線C_n為橢圓．以橢圓為例，利用參數法可解．

解答：解：（1）∵S₅-a₅=-14，∴S₄=-14，
又∵a₄S₄=-14，∴a₄=1，
∵S₄=-14=

4(a1+a4)

2

=2(a1+1)，
∴a₁=-8，d=

a4-a1

3

=3，
∴a_n=3n-11．
（2）

x2 |an + y2 4 =1 y=x+3

⇒(|an|+4)x2+6|an|x+5|an|=0，
由題意，知△=16（|a_n|²-5|a_n|）＞0，即|a_n|＞5，
∴3n-11＞5或3n-11＜-5，即n＞

16

3

或n＜2，
即n≥6或n=1時，直線l與曲線C_n相交于不同的兩點．
（3）由（2）當n≥6或n=1時，直線l與曲線C_n相交于不同的兩點．M_n=（|a_n|+4）•|A_nB_n|=(|an+4|)•

2

•

16(|an|2-5|an|)

|an|+4

=4

2

•

(|an|- 5 2 )2- 25 4

=

4 2 • 9(n- 9 2 )2- 25 4 ，n≥6 16 3 ，n=1

，
∴n=6時，M_n的最小值為8

7

．
（4）若曲線C_n與直線l不相交，曲線C_n與直線l間“距離”是：曲線C_n上的點到直線l距離的最小值．
曲線C_n與直線l不相交時，△=16（|a_n|²-5|a_n|）＜0，即0＜|a_n|＜5，即|3n-11|＜5，
∴n=3，4，5，
∵n=5時，曲線C₅為圓，
∴n=3，4時，曲線C_n為橢圓．
選n=3，橢圓為

x2

2

+

y2

4

=1，設橢圓上任一點M(

2

cosθ，2sinθ)，它到直線l的距離：d=

| 2 cosθ-2sinθ+3|

2

=

3- 6 sin(θ-arctan 2 2 )

2

⇒dmin=

3- 6

2

=

3 2

2

-

3

，
∴橢圓C₃到直線l的距離為

3 2

2

-

3

．  （橢圓C₄到直線l的距離為

3 2 - 10

2

）

點評：本題以數列為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關系，關鍵是利用直線與圓錐曲線聯立，借助于判別式進行解決．