Question

現有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊一次，命中的概率為，命中得2分，沒有命中得0分，該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊．
(1)求該射手恰好命中兩次的概率；
(2)求該射手的總得分X的分布列及數學期望E(X)；
(3)求該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次的概率．

Answer 1

（1）（2）（3）

(1)記：“該射手恰好命中兩次”為事件A，“該射手第一次射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第二次射擊甲靶命中”為事件C，“該射手射擊乙靶命中”為事件D.
由題意知，P(B)＝P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)＝P(BC)＋P(BD)＋P(CD)＝P(B)P(C)P()＋P(B)P()P(D)＋P()P(C)P(D)＝××＋××＋××＝.
(2)根據題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4.P(X＝0)＝P()＝××＝；
P(X＝1)＝P(B)＋P(C)＝××＋××＝；
P(X＝2)＝P(BC)＋P(D)＝××＋××＝；
P(X＝3)＝P(BD)＋P(CD)＝××＋××＝；
P(X＝4)＝P(BCD)＝××＝.
故X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(3)設“該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次”為事件A₁，“該射手向甲靶射擊命中一次且向乙靶射擊未命中”為事件B₁，“該射手向甲靶射擊命中2次且向乙靶射擊命中”為事件B₂，則A₁＝B₁∪B₂，B₁，B₂為互斥事件．
P(A₁)＝P(B₁)＋P(B₂)＝××＋××＝.
所以，該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次的概率為.