Question

【題目】已知設函數.

（1）若，求極值；

（2）證明：當，時，函數在上存在零點.

Answer 1

【答案】（1）取得極大值0，無極小值（2）見證明

【解析】

（1）通過求導得到，求出的根，列表求出的單調區間和極值.

（2）對進行分類，當時，通過對求導，得到在單調遞減，找到其零點，進而得到的單調性，找到，，可證在上存在零點.

當時，根據（1）得到的結論，對進行放縮，得到，再由，可證在上存在零點.

（1）當時，，定義域為，由得．

當變化時，， 的變化情況如下表：

		極大值

故當時，取得極大值，無極小值．

（2），．

當時，因為，所以，

在單調遞減．

因為，，

所以有且僅有一個，使，

當時，，當時，，

所以在單調遞增，在單調遞減．

所以，而，

所以在存在零點．

當時，由（1）得，

于是，所以．

所以．

于是．

因為，所以所以在存在零點．

綜上，當，時，函數在上存在零點．