Question

給出下列四個命題：
①函數f（x）=2^x-x²有且僅有兩個零點；
②對于函數f（x）=lnx的定義域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
③已知f（x）=|2^-x-1|，當a＜b時有f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知圖象連續不斷的函數y=f（x）在區間（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零點，如果用“二分法”求這個零點（精確度0.0001）的近似值，那么將區間（a，b）等分的次數至少是10次．
其中正確命題的序號是

③④

．

Answer 1

分析：①根據零點存在定理可判斷出f（x）在（-1，0）上有一個零點，結合2，4也是函數f（x）=2^x-x²的零點，可判斷①的真假；
②根據函數的凹凸性，可判斷②的真假；
③根據指數函數的圖象和性質及函數圖象的平移變換和對折變換法則，分析出f（x）=|2^-x-1|的圖象和性質，可判斷③的真假．
④根據計算精確度與區間長度和計算次數的關系滿足

b-a

2n

＜精確度確定等分次數，可判斷④的真假；

解答：解：∵f（-1）＜0，f（0）＞0，故函數f（x）在（-1，0）上有一個零點，又∵f（2）=f（4）=0，故函數f（x）至少有三個零點，故①錯誤；
若任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）必有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，則函數f（x）為凹函數，但函數f（x）=lnx為凸函數，故②錯誤；
∵f（x）=|2^-x-1|在（-∞，0]上為減函數，在[0，+∞）上為增函數，故當a＜b時有f（a）＜f（b）時，b＞0，則必有0＜f（b）＜1，故③正確；
設須計算n次，則n滿足

b-a

2n

=

0.1

2n

＜0.0001，即2ⁿ＞1000．由于2⁹=512＜1000，2¹⁰=1024＞1000，那么將區間（a，b）等分的次數至少是10次，即④正確．
故答案為：③④

點評：在用二分法求方程的近似解時，精確度與區間長度和計算次數之間存在緊密的聯系，可以根據其中兩個量求得另一個．