Question

將邊長為2，銳角為60°的菱形ABCD沿較短對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：
①EF∥AB；②直線EF是異面直線AC與BD的公垂線；③當(dāng)二面角A-BD-C是直二面角時(shí)，AC與BD間的距離為

6

2

；④AC垂直于截面BDE．
其中正確的是

②③④

（將正確命題的序號(hào)全填上）．

Answer 1

分析：畫出圖形，利用翻折前后線面關(guān)系，角的關(guān)系，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)的正確性，把正確的選項(xiàng)找出來．

解答：解：如圖：由題意得，EF與AB是異面直線，故①不正確．
由等腰三角形的中線性質(zhì)得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，在等腰三角形AFC中，EF⊥AC
即直線EF是異面直線AC與BD的公垂線，故②正確．
當(dāng)二面角A-BD-C是直二面角時(shí)，則∠CFA=90°，
由于 FA=FC=

3

，且AC=

6

，EF是等腰三角形FAC的底邊上的中線，
∴EF⊥AC，EF=

FA•FC

AC

=

6

2

當(dāng)二面角A-BD-C是直二面角時(shí)，即AC與BD間的距離為

6

2

，故③正確．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故④正確．
故答案為 ②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，注意在翻折過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化；位于折線同側(cè)的元素關(guān)系不變，
位于折線兩側(cè)的元素關(guān)系會(huì)發(fā)生變化．