Question

【題目】已知函數，．

（1）當時，求的單調增區間；

（2）令.

①當時，若函數恰有兩個不同的零點，求的值；

②當時，若的解集為，且中有且僅有一個整數，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調增區間是和； （2）① .

【解析】

（1）先求導數，再解不等式得結果，（2）①根據題意得極值點函數值為零，解方程即得結果，②研究函數先分析中有解的必要條件，即最小值小于零，再結合圖象確定有且僅有一個整數的條件，即得結果.

（1）當時，，．

令，解得或，

所以的單調增區間是和．

（2）因為.

①，令，得或，

因為函數有兩個不同的零點，所以或．

當時，得，不合題意，舍去；

當時，代入得，

即，所以．

②當時，因為，所以，

設，則，

當時，因為，所以在上遞增，且，

所以在上，，不合題意；

當時，令，得，

所以在遞增，在遞減，

所以，

要使有解，首先要滿足，解得． ①

又因為，，

要使的解集中只有一個整數，則

即 解得． ②

設，則，

當時，，遞增；當時，，遞減．

所以，所以，

所以由①和②得，．