Question

用分析法證明：若a＞0，則

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）

專題：證明題,分析法

分析：分析使不等式

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證．

解答： 證明：要證

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

，
∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²-----------（2分）
只需證

a2+ 1 a2

≥

2

2

（a+

1

a

），-----------（4分）
只需證a2+

1

a2

≥

1

2

（a2+

1

a2

+2），-----------（6分）
即證a2+

1

a2

≥2，它顯然成立．
∴原不等式成立．-----------（8分）

點評：本題考查用分析法證明不等式，關鍵是尋找使不等式成立的充分條件．