Question

已知定義在R上的函數f（x），g（x）分別滿足：f（1+x）+f（1-x）=0，g（-x）=g（x），則下列函數中，一定為奇函數的是

1. A.
   y=f（x）•g（x）
2. B.
   y=f（x+1）•g（x）
3. C.
   y=f（x-1）•g（x）
4. D.
   y=f（x）•g（x-1）

Answer 1

B
分析：首先根據函數奇偶性的定義與性質，易得A、C、D各項中的函數均為非奇奇偶函數，再用奇偶性的定義證出B項中的函數是奇函數，即可得到本題的答案．
解答：A項當中，因為f（x）是非奇非偶函數，g（x）是偶函數，故y=f（x）•g（x）不是奇函數
C項當中，f（x-1）是非奇非偶函數，g（x）是偶函數，故y=f（x-1）•g（x）不是奇函數
D項當中，f（x）是非奇非偶函數，g（x-1）是非奇非偶函數，故y=f（x）•g（x-1）不是奇函數
接下來證明B項中的函數是奇函數
∵f（1+x）+f（1-x）=0，
∴f（1-x）=-f（1+x），可得函數y=f（x+1）是奇函數
記F（x）=f（x+1）•g（x），得F（-x）=f（-x+1）•g（-x）
∵f（1-x）=-f（1+x），g（-x）=g（x），
∴F（-x）=-f（1+x）•g（x）=-F（x），得F（x）是奇函數
因此y=f（x+1）•g（x）是奇函數．
故選：B
點評：本題給出兩個抽象函數，要我們在由它們生成的函數中找出奇函數，著重考查了抽象函數的應用和函數奇偶性的定義與性質等知識，屬于基礎題．