Question

【題目】多面體中，△為等邊三角形，△為等腰直角三角形，平面，平面.

（1）求證：；

（2）若，，求平面與平面所成的較小的二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用線面平行的性質定理，分別證得和，即可證；

（2）分別證得兩兩垂直，建立空間直角坐標系即可求解.

解：（1）證明：因為平面，

平面，平面平面，

所以，

同理可證，，

所以.

（2）因為△為等腰直角三角形，，所以，，

又，，所以四邊形為平行四邊形，

所以，

因為△為等邊三角形，所以，

取的中點，連結、，

因為，則，

又，且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

在中，，

所以，即，進而，

同理可證，進而，

以點為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，

設平面的一個法向量為，

則，令，則，，

所以，

易知平面的一個法向量為，

，

所以平面與平面所成的較小的二面角的余弦值為.