Question

已知函數f（x）=

x2-4 ，x∈[2，+∞) 2-x，x∈(-∞，2)

，若關于x的方程f（x）-kx+k=0有且只有一個實根，則實數k的取值范圍是（　　）

• A、k≤0或k＞1
• B、k＞1或k=0或k＜-1
• C、k＞

  2 3

  3

  或k=0或k＜-1
• D、k＞

  2 3

  3

  或k=0或k＜-

  2 3

  3

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：由f（x）-kx+k=0得f（x）=kx-k，分別作出函數f（x）和y=kx-k的圖象，利用數形結合即可求出k的取值范圍．

解答： 解：由由f（x）-kx+k=0得f（x）=kx-k，分別作出函數f（x）和y=kx-k的圖象，
若k=0時．直線y=kx-k=0，此時滿足兩個函數圖象只有一個 交點，
即方程方程f（x）-kx+k=0有且只有一個實根，滿足條件．
若k＜-1時，方程方程f（x）-kx+k=0有且只有一個實根，滿足條件．
當k＞0時，當直線和雙曲線相切時，有，
由

x2-4

=kx-k，
即x²-4=k²x²-2k²x+k²，
即（1-k²）x²+2k²x-（4+k²）=0，
判別式△=4k⁴+4（1-k²）（4+k²）=0，
整理得3k²-4=0，
解得k²=

4

3

，即此時k=

2 3

3

，此時方程f（x）-kx+k=0有2個實根，不滿足條件，
∴要使f（x）-kx+k=0有且只有一個實根，則此時k＞

2 3

3

，
綜上滿足條件的k的取值范圍是k＞

2 3

3

或k=0或k＜-1，
故選：C．

點評：本題主要考查方程根的應用嗎，根據方程和函數之間的關系，轉化為函數圖象的交點個數問題，利用數形結合是解決本題就的關鍵．