Question

【題目】已知橢圓：（），右焦點，點在橢圓上；

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）是否存在過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，且？若存在，請求出所有符合要求的直線；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在過原點的直線l使得，直線l的方程為．

【解析】

（1）根據焦點坐標和D點坐標列方程組求出，即可；

（2）對直線l的斜率進行討論，使用根與系數的關系計算，根據計算結果是否為0得出結論．

（1）由題意可知，

解得，，

∴橢圓C的標準方程為：．

（2）若直線l無斜率，則直線l的方程為，

∴，，又，

∴，符合題意；

若直線l有斜率，設直線l的方程為，

聯立方程組，消元得，

設，，則，，．

∴，，

∴

，

∴與不垂直，即．

綜上，存在過原點的直線l使得，直線l的方程為．