Question

如圖，三棱柱中，平面，，，．以
，為鄰邊作平行四邊形，連接和．

（1）求證：∥平面 ；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）線段上是否存在點，使平面與平面垂直？若存在，求出的長；若
不存在，說明理由．

Answer 1

（1）平面；（2）；（3）線段上不存在點，使平面與平面垂直.

試題分析：（1）要證明線面平行，需要在平面中找出一條直線平行于.連結，三棱柱中且，由平行四邊形得且,
且, 四邊形為平行四邊形， ,平，平面 ,平面.（2）建立空間直角坐標系，設平面的法向量為，利用即，令，則，， ，直線與平面所成角的正弦值為. （3）設，，則，設平面的法向量為，利用垂直關系， 即 ，令，則，，所以，因為平面的法向量為，假設平面與平面垂直，則 ，解得， 
線段上不存在點，使平面與平面垂直.              
試題解析：（1）連結，三棱柱中且，        
由平行四邊形得且
且                               1分
四邊形為平行四邊形，                2分
平，平面               3分
平面                                   4分

（2）由，四邊形為平行四邊形得，底面
如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，
， ，                                1分
，，
設平面的法向量為，則
即，令，則，
                                           3分
         
直線與平面所成角的正弦值為.        5分
（3）設，，則              1分
設平面的法向量為，則
， 即 
令，則，，所以            3分
由（2）知：平面的法向量為
假設平面與平面垂直，則 ，解得， 
線段上不存在點，使平面與平面垂直.
5分