Question

如圖，F為雙曲線C：的右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點。已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|，
（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率e與λ的關系式；
（Ⅱ）當λ=1時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若|AB|=12，求此時的雙曲線方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵四邊形OFPM是，
∴，
作雙曲線的右準線交PM于H，則，
又，
。
（Ⅱ）當λ=1時，e=2，c=2a，，
雙曲線為，
設P，則，
，
所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，
代入到雙曲線方程得：，
又|AB|=12，由得：
，解得a=1，則，
所以為所求。