Question

如圖，F為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點．P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點．已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率e與λ的關系式；
（Ⅱ）當λ=1時，設雙曲線右支與x軸的交點為R，且|PR|=2，求此時的雙曲線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，四邊形OFPM是平行四邊形，分析可得|OF|=|PM|=c，作雙曲線的右準線交PM于H，由雙曲線的性質可得|PM|=|PH|+2

a2

c

，又由e=

|PF|

|PH|

，代入化簡可得答案；
（Ⅱ）分析可得，當λ=1時，四邊形OFPM是菱形，則e=2，即c=2a，可得|OF|=|PF|=2a，可求得點p的橫坐標，作PQ⊥x軸，垂足為Q，則點Q為線段RF的中點，進而可得△PQF為等腰三角形，則|PR|=2a=2，即可得a、b的值，由雙曲線的標準方程可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵四邊形OFPM是平行四邊形，
∴|OF|=|PM|=c，
作雙曲線的右準線交PM于H，
則|PM|=|PH|+2

a2

c

，
又e=

|PF|

|PH|

=

λ|OF|

c-2 a2 c

=

λc

c-2 a2 c

=

λc2

c2-2a2

=

λe2

e2-2

，
e²-λe-2=0
（Ⅱ）當λ=1時，四邊形OFPM是菱形
e=2，c=2a，即|OF|=|PF|=2a，2a=ex_P-a（或2a=xP+

a2

c

）
可求得點p的橫坐標為eP=

3

2

a
作PQ⊥x軸，垂足為Q，則點Q為線段RF的中點，
所以△PQF為等腰三角形，
所以|PR|=2a=2，即a=1，b=

3

，
雙曲線方程為：x2-

y2

3

=1．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質及應用，此類題目一般計算量較大，解本題時，注意把握平行四邊形與菱形的性質，尋找突破點，同時可以減小運算量．