Question

已知橢圓C：其左、右焦點分別為F₁、F₂，點P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且|OP|=（O為坐標(biāo)原點）。
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點l交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點：若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1） 
（2）在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，
點M的坐標(biāo)為（0，1）。

解析試題分析：（1）設(shè)

因此所求橢圓的方程為：    5分
（2）動直線l的方程為：，


     10分
由假設(shè)得對于任意的恒成立，
即
因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，
點M的坐標(biāo)為（0，1）。   13分
（以上答案僅供參考，其它解法酌情賦分）
考點：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運算。
點評：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達(dá)定理。本題（2）利用向量垂直，數(shù)量積為0，確定得到m的方程。