Question

已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則其離心率為

2或

2 3

3

．

Answer 1

分析：先由雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，得雙曲線的兩條漸近線的斜率±

3

或±

3

3

，由于不知雙曲線的焦點位置，故通過討論分別計算離心率，由

b

a

=

3

3

或

a

b

=

3

3

，再由雙曲線中c²=a²+b²，求其離心率即可

解答：解：∵雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，且漸近線關于x、y軸對稱，
若夾角在x軸上，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角為30°，150°，斜率為±

3

3

若夾角在y軸上，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角為60°，120°，斜率為±

3

①若雙曲線的焦點在x軸上，則

b

a

=

3

3

或

b

a

=

3

∵c²=a²+b²
∴

c2-a2

a2

=

1

3

或

c2-a2

a2

=3

∴e2-1=

1

3

或e²-1=3
∴e=

2 3

3

或e=2
②若雙曲線的焦點在y軸上，則

a

b

=

3

3

或

a

b

=

3

∵c²=a²+b²
∴

a2

c2-a2

=

1

3

或

a2

c2-a2

=3

∴e2-1=

1

3

或e²-1=3
∴e=

2 3

3

或e=2
綜上所述，離心率為2或

2 3

3

故答案為 2或

2 3

3

點評：本題考查了雙曲線的幾何性質，由漸近線的斜率推導雙曲線的離心率是解決本題的關鍵