Question

已知復數z₁=sin2x+λi，z2=m+(m-

3

cos2x)i(λ，m，x∈R，)，且z₁=z₂．
（1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值；
（2）設λ=f（x），已知當x=α時，λ=

1

2

，試求cos(4α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）把λ=0代入復數z₁=sin2x+λi，利用z₁=z₂．實部等于實部，虛部等于虛部，得到方程組，結合0＜x＜π，求x的值；
（2）表示出λ=f（x），化簡為一個角的一個三角函數的形式，當x=α時，λ=

1

2

，代入表達式，化簡后即可求cos(4α+

π

3

)的值．

解答：解：（1）∵z₁=z₂
∴

sin2x=m λ=m- 3 cos2x

∴λ=sin2x-

3

cos2x（2分）
若λ=0則sin2x-

3

cos2x=0得tan2x=

3

（4分）
∵0＜x＜π，
∴0＜2x＜2π
∴2x=

π

3

，或2x=

4π

3

∴x=

π

6

或

2π

3

（6分）
（2）∵λ=f(x)=sin2x-

3

cos2x=2(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)
=2(sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

)=2sin(2x-

π

3

)（8分）
∵當x=α時，λ=

1

2

∴2sin(2α-

π

3

)=

1

2

，sin(2α-

π

3

)=

1

4

，sin(

π

3

-2α)=-

1

4

（9分）
∵cos(4α+

π

3

)=cos2(2α+

π

6

)=2cos2(2α+

π

6

)-1=2sin2(

π

3

-2α)-1--（11分）
∴cos(4α+

π

3

)=2×(-

1

4

)2-1=-

7

8

．（12分）

點評：本題是中檔題，借助復數相等的條件，確定變量的值，通過三角函數的化簡，方程思想的應用確定三角函數數值，考查學生對所學知識的靈活應用能力，分析問題解決問題的能力，是好題．