Question

已知復數z₁=2cosθ+i•sinθ，z₂=1-i•（

3

cosθ），其中i是虛數單位，θ∈R．
（1）當cosθ=

3

3

時，求|z₁•z₂|；
（2）當θ為何值時，z₁=z₂．

Answer 1

分析：（1）根據所給的復數的代數形式，寫出復數的模長，把兩個模長做乘法運算，整理化簡，根據所給的角的余弦值得到正弦值，代入所得的模長代數式，得到結果．
（2）根據復數相等的充要條件，得到兩個復數的實部和虛部分別相等，得到關于角θ的方程組，解方程組得到角的范圍．

解答：解：（1）|z₁•z₂|=|z₁||z₂|=

4cos2θ +sin2θ

1+3cos2θ

，
∵cosθ=

3

3

，
∴cos2θ=

1

3

，sin2θ=

2

3

∴|z₁•z₂|=2，
（2）∵z₁=z₂．
∴2cosθ=1，-sinθ=

3

cosθ，
∴θ=2kπ±

π

3

且θ=kπ-

π

3

，k∈z，
∴θ=2kπ-

π

3

，k∈z

點評：本題考查復數求模長，考查復數相等的充要條件，考查三角函數的運算，考查解關于三角函數的方程，本題是一個綜合題目．