Question

已知復數z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，|z₁-z₂|=1．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，且sinβ=-

3

5

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）利用復數的減法運算先計算出z₁-z₂，在利用向量的模的計算方法計算|z₁-z₂|，再讓其等于1，就可得到cos（α-β）的值．
（2）根據角α，β的范圍以及cos（α-β）和sinβ的值，求出sin（α-β）和cosβ的值，把α用α-β+β表示，所以sinα=sin[（α-β）+β]，把其中角α-β看做一個角，用兩角和的正弦公式展開，把前面求出的三角函數值代入即可求出sinα．

解答：解：（1）∵復數z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，|
∴z₁-z₂=（cosα-cosβ）+i（sinα-sinβ），
又∵|z₁-z₂|=1，
∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=1，
化簡得

2-2cosαcosβ-2sinαsinβ

=1
2-2cos（α-β）=1
∴cos(α-β)=

2-1

2

=

1

2

．
（2）∵-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，所以0＜α-β＜π，
由（1）得cos(α-β)=

1

2

，∴sin（α-β）=

3

2

又∵sinβ=-

3

5

，-

π

2

＜β＜

π

2

，
∴cosβ=

4

5

.
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=

3

2

×

4

5

+

1

2

×(-

3

5

)=

4 3 -3

10

點評：本題主要考查復數的減法運算和復數的模的求法，以及應用三角公式進行化簡求值計算，注意其中角的整體代換．