Question

（1）已知：a，b，c都是正實數(shù)，且ab+bc+ca=1，求證：a²+b²+c²≥1．
（2）若下列三個方程：x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點：反證法與放縮法,不等式的證明

專題：選作題,反證法

分析：（1）利用基本不等式、以及不等式的性質(zhì)，證得要證的不等式；
（2）先假設(shè)沒有一個方程有實數(shù)根，然后由根的判別式解得三方程都沒有根的實數(shù)a的取值范圍，其補(bǔ)集即為個方程 x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一個方程有實根成立的實數(shù)a的取值范圍．

解答： （1）證明：∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca）．
又∵ab+bc+ca=1，
∴a²+b²+c²≥1；
（2）解：假設(shè)沒有一個方程有實數(shù)根，則：
16a²-4（3-4a）＜0（1）
（a-1）²-4a²＜0（2）
4a²+8a＜0（3）
解之得：-1.5＜a＜-1
故三個方程至少有一個方程有實根的a的取值范圍是：{a|a≥-1或a≤-1.5}．

點評：解題時要合理地運(yùn)用反證法的思想靈活轉(zhuǎn)化問題，以達(dá)到簡化解題的目的，在求解如本題這類存在性問題時，若發(fā)現(xiàn)正面的求解分類較繁，而其對立面情況較少，不妨如本題采取求其反而成立時的參數(shù)的取值范圍，然后求此范圍的補(bǔ)集，即得所求范圍，本題中三個方程都是一元二次方程，故求解時注意根的判別式的運(yùn)用．