Question

設(shè)集合A={x|y=log₂（-x²-2x+8）}，B={y|y=x+

1

x-1

-2}，集合C={x|（ax-

1

a

）（x+4）≤0}．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆∁_RA，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：集合的包含關(guān)系判斷及應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,集合

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，可求得A，根據(jù)對勾函數(shù)的值域可求出B，進而可得A∩B；
（2）由（1）求出∁_RA，再由C⊆∁_RA，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，進而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）A={x|y=log₂（-x²-2x+8）}={x|（-x²-2x+8）＞0}={x|（-x+2）（x+4）＞0}=（-4，2），
B={y|y=x+

1

x-1

-2}=B={y|y=x-1+

1

x-1

-1}，
∵x-1+

1

x-1

∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
∴B=（-∞，-3]∪[1，+∞），
∴A∩B=（-4，-3]∪[1，2）…（7分）
（2）∁_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞），
解（ax-

1

a

）（x+4）=0得：
x=

1

a2

，或a=-4，
當a＞0時，C=[-4，

1

a2

]，
又此時不滿足條件C⊆∁_RA，
當a＜0時，C=(-∞，-4]∪[

1

a2

，+∞)，
又C⊆∁_RA，
∴

1

a2

≥2⇒a2≤

1

2

⇒-

2

2

≤a＜0…（14分）

點評：本題考查的知識點是集合的交并補運算，是集合運算，函數(shù)定義域和值域的綜合考查，難度中檔．