Question

如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，離心率為．
分別過，的兩條弦，相交于點（異于，兩點），且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

Answer 1

(1);(2)詳見解析.

試題分析：（1）根據條件“右焦點為，離心率為”得到含有的兩個方程，進而求解橢圓方程；（2）通過直線和直線與橢圓連接方程組，得到四點坐標，統一變量，減少字母，然后利用斜率公式證明直線，的斜率之和為定值.在第（2）問的運算上要注意先化簡再代入．本題的幾何背景是：在如圖所示的圓中，因為，且，所以．

試題解析：（1）解：由題意，得，，故，
從而，
所以橢圓的方程為．      ①                             5分
（2）證明：設直線的方程為，   ②
直線的方程為，   ③                                  7分
由①②得，點，的橫坐標為，
由①③得，點，的橫坐標為，                    9分
記，，，，
則直線，的斜率之和為


                               13分

．                                                          16分