Question

（2013•哈爾濱一模）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy 中，直線l 的參數方程為

x=-2-t y=2- 3 t

（t 為參數），直線l與曲線C：（y-2）²-x²=1交于A，B兩點
（1）求|AB|的長；
（2）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點P的極坐標為(2

2

，

3π

4

)，求點P到線段AB中點M的距離．

Answer 1

分析：（1）化直線的參數方程為普通方程，和曲線方程聯立后利用根與系數的關系寫出兩個交點的橫坐標的和與積，利用弦長公式求|AB|的長；
（2）結合（1）由中點坐標公式求出M的坐標，化P的極坐標為直角坐標，然后直接利用兩點間的距離公式求解．

解答：解：（1）由

x=-2-t y=2- 3 t

，得y=

3

x+2+2

3

，
代入（y-2）²-x²=1，得2x²+12x+11=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=-6，x1x2=

11

2

．
所以|AB|=

1+( 3 )2

|x1-x2|
=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

(-6)2-4× 11 2

=2

14

；
（2）設AB中點M（x₀，y₀），由（1）知，
x0=

x1+x2

2

=

-6

2

=-3，
y0=

y1+y2

2

=

3 (x1+x2)+4+4 3

2

=

-6 3 +4+4 3

2

=2-

3

．
所以 M（-3，2-

3

）．
因為點P的極坐標為(2

2

，

3π

4

)，
所以P的直角坐標為（2

2

cos

3π

4

，2

2

sin

3π

4

）=（-2，2）．
所以點P到線段AB中點M的距離為

(-3+2)2+(- 3 )2

=2．

點評：本題考查了參數方程化為普通方程，考查了極坐標化為直角坐標，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了根與系數的關系，考查了弦長公式的運用，是中檔題．