Question

（2013•哈爾濱一模）已知函數f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（ I）若函數φ（x）=f（x）-

x+1

x-1

，求函數φ（x）的單調區間；
（Ⅱ）設直線l為函數的圖象上一點A（x₀，f （x₀））處的切線．證明：在區間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，確定導數恒大于0，從而可得求函數φ （x）的單調區間；
（Ⅱ）先求直線l為函數的圖象上一點A（x₀，f （x₀））處的切線方程，再設直線l與曲線y=g（x）相切于點(x1，ex1)，進而可得lnx0=

x0+1

x0-1

，再證明在區間（1，+∞）上x₀存在且唯一即可．

解答：（Ⅰ）解：φ(x)=f(x)-

x+1

x-1

=lnx-

x+1

x-1

，φ′(x)=

1

x

+

2

(x-1)2

=

x2+1

x•(x-1)2

．（2分）
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0
∴函數φ（x）的單調遞增區間為（0，1）和（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）證明：∵f′(x)=

1

x

，∴f′(x0)=

1

x0

，
∴切線l的方程為y-lnx0=

1

x0

(x-x0)，
即y=

1

x0

x+lnx0-1，①（6分）
設直線l與曲線y=g（x）相切于點(x1，ex1)，
∵g'（x）=e^x，∴ex1=

1

x0

，∴x₁=-lnx₀．（8分）
∴直線l也為y-

1

x0

=

1

x0

(x+lnx0)，
即y=

1

x0

x+

lnx0

x0

+

1

x0

，②（9分）
由①②得 lnx0-1=

lnx0

x0

+

1

x0

，
∴lnx0=

x0+1

x0-1

．（11分）
下證：在區間（1，+∞）上x₀存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，φ（x）=lnx-

x+1

x-1

在區間（1，+∞）上遞增．
又φ(e)=lne-

e+1

e-1

=

-2

e-1

＜0，φ(e2)=lne2-

e2+1

e2-1

=

e2-3

e2-1

＞0，（13分）
結合零點存在性定理，說明方程φ（x）=0必在區間（e，e²）上有唯一的根，這個根就是所求的唯一x₀．
故結論成立．

點評：本題以函數為載體，考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查曲線的切線，同時考查零點存在性定理，綜合性比較強．